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    【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

    （1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；

    （2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

    【答案】（1）分布列见解析；（2）406.

    【解析】

    （1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.

    （2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.

    （1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.

    所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.

    依题意可知，，所以的分布列为：

    （2）方案②中.

    结合（1）知每个人的平均化验次数为：

    时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，

    时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，

    时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，

    即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，

    故在这三种分组情况下，相比方案①，

    当时化验次数最多可以平均减少次.

    练习册系列答案
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    分数不少于120分

    分数不足120分

    合计

    线上学习时间不少于5小时

    4

    19

    线上学习时间不足5小时

    合计

    45

    （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

    （2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.

    （下面的临界值表供参考）

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （参考公式 其中）

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