Question

如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是PB、PC上的点，AE⊥PB，AF⊥PC，给出下列结论：
①AF⊥PB；
②EF⊥PB；
③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC．
其中正确结论的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点⇒BC⊥平面PAC，继而可证BC⊥AF，AF⊥PC，从而易证AF⊥平面PBC，从而可对①②③④作出判断．

解答：解：∵PA⊥圆O所在的平面α，BC?α，
∴PA⊥BC，
AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，
∴BC⊥AC，
又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，
∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC=C，
∴AF⊥平面PBC，PB?平面PBC，
∴AF⊥PB，即①正确；
又AE⊥PB，同理可证PB⊥平面AFE，EF?平面AFE，
∴EF⊥PB，即②正确；
由BC⊥平面PAC，AF?平面PAC知，BC⊥AF，即③正确；
∵AF⊥平面PBC（前边已证），AE∩AF=A，
∴AE不与平面PBC垂直，故④错误，
综上所述，正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评：不同考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与线面垂直的性质定理，考查推理与证明的能力，属于中档题．