Question

已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1．动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（ II）直线l′与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l'的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为△POQ（O为坐标原点）的面积，求S的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），动圆半径为R，利用动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切，可建立方程，化简，即可得到动圆圆心C的轨迹M的方程；
（ II）确定点P坐标，直线PQ的方程与抛物线方程联立，求得点Q的坐标，从而可求S的值．
解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），动圆半径为R，
则，且|y+1|=R…（2分）
可得 …（3分）
由于圆C₁在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有y+1＞0，
∴，整理得x²=8y，即为动圆圆心C的轨迹M的方程…（5分）
（ II）如图示，设点P的坐标为，则=，…（6分）
k_PQ=，所以直线PQ的方程为…（8分）
又，
∴，．
∵点P在第一象限，∴x=4，--（9分）
点P坐标为（4，2），直线PQ的方程为y=-x+6．--------------（10分）
联立得x²+8x-48=0，解得x=-12或4，
∴点Q的坐标为（-12，18）．
所以---------（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查曲线的切线，考查三角形的面积，考查直线与抛物线的位置关系，确定P、Q的坐标是关键．