Question

【题目】已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（ ）
A.
B.4π
C.
D.3π

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1O、O1C、O1D、OD， ∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O⊥O1C，
∵球的半径R=3，O1O=2，
∴Rt△O1OC中，O1C= ．
又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D= O1C= ．
∴Rt△OO1D中，OD= = ．
∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r= = ，可得截面面积为S=πr2= ．
故选A．

设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD，而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．