Question

【题目】如图，已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率为，以椭圆的端州的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8，直线：与轴交于点，与椭圆交于不同两点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由焦点三角形的周长为，可得的值，运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得，设，，运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得，代入，再由不等式的性质，可得所求范围．

试题解析：（1）由已知可得以椭圆的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为，．

又，∴，，

∴椭圆的标准方程为．

（2）根据已知得，设，，

由得，

由已知得，即，

且，，

∵，∴，∴，

代入上式可得，，

所以，得，代入，

整理得，∴的取值范围是．