Question

已知平面向量

a

=(

3

2

，-

1

2

)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在不为零的实数m，使得：

c

=

a

+2x

b

，

d

=-y

a

+(m-2x2)

b

，且

c

⊥

d

，
（1）试求函数y=f（x）的表达式；
（2）若m∈（0，+∞），当f（x）在区间[0，1]上的最大值为12时，求此时m的值．

Answer 1

（1）∵

a

•

b

=

3

2

×

1

2

-

1

2

×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

．∵

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，又知

a

2=1，

b

2=1．

c

•

d

=-y+2x(m-2x2)=0.
∴y=2mx-4x³，
故f（x）=2mx-4x³．
（2）f（x）=2mx-4x³，则f'（x）=2m-12x²，其中m＞0，
当0≤x＜

m 6

时，f'（x）＞0，f（x）在[0，

m 6

]上单调递增；
当x＞

m 6

时，f'（x）＜0，f（x）在(

m 6

，+∞)上单调递减，
①若

m 6

≥1，即m≥6，则f（x）在[0，1]上单调递增，此时f（x）
在区间[0，1]上的最大值f（x）_max=f（1）=2m-4=12，解得m=8满足条件．
②若

m 6

＜1，即0＜m＜6，则f（x）在[0，

m 6

]上单调递增，在(

m 6

，1)
上单调递减，则f（x）在区间[0，1]上的最大值f(x)max=f(

m 6

)=2

m 6

•m-4(

m 6

)3=12，
解得m3=486，m=3

3	18

＞6，不满足0＜m＜6，舍去．
综上所述，存在常数m=8，使函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为12．