Question

【题目】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．
（1）写出每人需交费用y关于人数x的函数；
（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

Answer 1

【答案】
（1）解：当0＜x≤30时，y=900；

当30＜x≤75，y=900﹣10（x﹣30）=1200﹣10x；

即

（2）解：设旅行社所获利润为S元，则

当0＜x≤30时，S=900x﹣15000；

当30＜x≤75，S=x（1200﹣10x）﹣15000=﹣10x2+1200x﹣15000；

即

因为当0＜x≤30时，S=900x﹣15000为增函数，

所以x=30时，Smax=12000；

当30＜x≤75时，S=﹣10x2+1200x﹣15000=﹣10（x﹣60）2+21000，

即x=60时，Smax=21000＞12000．

所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润

【解析】（1）根据自变量x的取值范围，分0＜x≤30或30＜x≤75列出函数解析式即可；（2）利用（1）中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论．