Question

【题目】如图是一矩形滨河公园，其中长为百米，长为百米，的中点为便民服务中心.根据居民实际需求，现规划建造三条步行通道、及，要求点、分别在公园边界、上，且.

（1）设.①求步道总长度关于的函数解析式；②求函数的定义域.

（2）为使建造成本最低，需步行通道总长最短，试求步行通道总长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①.，②；（2）百米.

【解析】

（1）①根据，，得到，然后分别在中，用余弦函数的定义得到，在中，用正弦函数的定义得到，在中，用勾股定理得到，然后相加即可，②根据，，点、分别在公园边界、上，则有求解.

（2）由（1）的结论，.令，转化为，利用反比例函数的单调性求解.

（1）①在矩形中，因为，，所以.

因为，为的中点，所以.

在中，，

.

在中，

，.

又因为，

所以，

所以.

②因为，，

所以即

解得，所以，

所以函数的定义域为.

（2）.

令，

则，

所以.

因为，所以，

所以，

所以.

因为在上为减函数，

所以当，即时，取得最小值，

故步行通道总长度的最小值为百米.