Question

若AB=2，AC=

2

BC，则S_△ABC的最大值

 

．

Answer 1

分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据三角形的两边之和大于第三边列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，根据x的范围求出被开方数中完全平方式为0时的x的值，把求出x的值代入即可得到三角形面积的最大值．

解答：解：设BC=x，则AC=

2

x，
根据面积公式得S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB=

1

2

×2x×

1-cos2B

，
又根据余弦定理得cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

4+x2-( 2 x)2

4x

=

4-x2

4x

，
代入上式得：
S_△ABC=x

1-( 4-x2 4x )2

=

128-(x2-12)2 16

，
由三角形三边关系有：

2 x+x＞2 x+2＞ 2 x

，
解得：2

2

-2＜x＜2

2

+2．
所以当x=2

3

时，x²-12=0，此时S_△ABC取得最大值

128 16

=

8

=2

2

．
故答案为：2

2

点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，本题的思路为：利用三角形的任两边之和大于第三边列出不等式，求出x的范围，进而根据x的范围求出完全平方式的最小值即为三角形面积的最大值．