Question

已知动点P在以F₁（0，

2

2

）、F₂（0，-

2

2

）为焦点的椭圆上C，且cos∠F₁PF₂的最小值为0，直线l与y轴交于点Q（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且

AQ

=3

QB

（1）求椭圆C的方程；
（2）实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可知c²的值，设出椭圆的长轴长，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出cos∠F₁PF₂的最小值，由最小值等于0求出a²的值，从而求出b²的值，则椭圆的方程可求；
（2）由题意知直线l的斜率存在，且不等于0，设出直线l的方程，和椭圆联立后保证判别式大于0，再利用

AQ

=3

QB

列式找到直线的斜率k和m的关系，代入判别式后即可求解m的取值范围．

解答：解（1）由题意c2=

1

2

．设|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞

2

2

），由余弦定理，
得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2-2|PF1||PF2|

2|PF1|•|PF2|

=

2a2-1

|PF1|•|PF2|

-1．
又|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁|•|PF₂|取最大值，
此时cos∠F₁PF₂取最小值

2a2-1

a2

-1，
令

2a2-1

a2

-1=0，
解得a²=1，∵c=

2

2

，∴b2=

1

2

，
故所求P的轨迹方程为

y2

1

+

x2

1 2

=1．即y²+2x²=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m 2x2+y2=1

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
则△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，
因为

AQ

=3

QB

，所以-x₁=3x₂，所以

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，
所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，即k²（4m²-1）+（2m²-2）=0
当m2=

1

4

时，上式不成立；
当m2≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

＞0；
把k2=

2-2m2

4m2-1

代入△=4（k²-2m²+2）＞0，
得：4(

2-2m2

4m2-1

-2m2+2)＞0．
解得m的取值范围为(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答（1）的关键是利用椭圆的定义和基本不等式得到使cos∠F₁PF₂取最小值0时的a²，（2）的求解利用了对点设而不求的方法，也是该类问题常用的方法，恰当利用直线与圆锥曲线有两个不同的交点是解答该题的关键所在．此题是有一定难度题目．