Question

【题目】在四棱锥中， 平面， 是的中点， ， ， .

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，则，先根据线面垂直的性质证明；进而可得，再由线面判定定理即可证明平面，从而可得；（2）建立空间坐标系，分别求出平面与平面的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角的余弦值.

试题解析：（1）取的中点，连接，则.

因为，所以.

因为平面， 平面，所以又

所以平面

因为平面，所以；又，所以；

又因为, ，所以平面

因为平面，所以.

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则， ， ， ， ，

， .

设平面的法向量为，则所以

令，所以.

由（1）知平面， 平面，所以.

同理，所以平面

所以平面的一个法向量.

所以，

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.