Question

已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤＜).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），曲线C是顶点为，焦点为的抛物线；(Ⅱ)8.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据极坐标和直角坐标的关系得直角坐标方程；(Ⅱ)方法1：由已知条件求直线的参数方程，代入曲线C的方程，得关于参数的二次方程，可利用求得长度；方法2：先把直线的方程化为普通方程，再与曲线C联立求交点坐标，既得所求.

试题解析：（Ⅰ）方程两边同乘，得，把代入上式，得

，这就是曲线C的直角坐标方程，曲线C是顶点为，焦点为的抛物线.     3分

（Ⅱ）方法1：直线（为参数，）经过点，若直线又经过点，则

，直线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程

，得整理得. ①

设直线与曲线C的交点A、B对应的参数分别为，则是方程①的两个实根，于是，直线被曲线C截得的线段AB的长为.       7分

方法2：设直线的普通方程为，若直线经过点，则，即，

的方程为，解方程组，得或，即A、B两点的坐标分别为，于是直线被曲线C截得的线段AB的长为

.         7分

考点：1、极坐标与直角坐标的互化；2、参数方程；3、直线被曲线所截线段的求法.