Question

如图组合体中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．
（1）求证：无论点C如何运动，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲证平面A₁BC⊥平面A₁AC，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁BC内一直线与平面A₁AC垂直，根据侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，则AC⊥BC，又圆柱母线AA₁⊥平面ABC，BC属于平面ABC，则AA₁⊥BC，又AA₁∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AC，而BC属于平面A₁BC，满足定理所需条件；
（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧的中点时，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，求出三棱锥A₁-ABC的体积为，从而求出四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．
解答：解：（I）因为侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）
又圆柱母线AA₁⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA₁⊥BC，
又AA₁∩AC=A，所以BC⊥平面A₁AC，
因为BC?平面A₁BC，所以平面A₁BC⊥平面A₁AC；（6分）

（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，
当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r²，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为r²h，
三棱锥A₁-ABC的体积为，
四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积为r²h-=，（10分）
圆柱的体积为πr²h，
四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比为2：3π．（12分）
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．