Question

【题目】三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（　　）
A.16
B.
C.
D.32

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴16=PA2+PB2+PC2 ， 又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，
设PB=，PC=4sinα，
则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+）≤ ．
则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为 ，
故选B．
【考点精析】本题主要考查了棱台的结构特征和球内接多面体的相关知识点，需要掌握①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点；球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能正确解答此题．