Question

已知f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函数（其中0＜a＜1）
（1）求m值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据函数的奇偶性可得loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0对任意x∈D恒成立，即可得到m=±1，再进行检验可得m=-1．
（2）用定义证明其单调性，先在给定的区间上任取两个变量且给定大小关系，再作差变形与零比较，要注意变形到位．

解答：解：（1）由题意可得：f（-x）=-f（x），
所以loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0对任意x∈D恒成立，
即（m²-1）x²=0恒成立，
所以m=±1，
当m=1时，函数无意义，故舍去，
∴m=-1；
（2）由（1）可得：f(x)=loga

x+1

x-1

，并且f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，则

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，即

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

＞0，
又∵0＜a＜1，
∴loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式，利用单调性定义证明函数的单调性，是常规题，属中档题．