Question

已知x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一个极植点
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设g（x）=f（x）-

3

x

，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据x=1是f(x)=2x-

b

x

+1nx的一个极值点，可得f′（1）=0，从而可求b的值，令导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；
（2）设过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的切点坐标为（x₀，y₀），求出切线方程，可得lnx₀+

2

x0

-2=0，构建函数h（x）=lnx+

2

x

-2，求导数，确定函数的单调性，可得h（x）与x轴有两个交点，从而可得结论．

解答：解：（1）∵x=1是f(x)=2x-

b

x

+1nx的一个极值点
∴f′（1）=0
∵f′(x)=2+

b

x2

+

1

x

∴2+b+1=0
∴b=-3
∴f′(x)=2-

3

x2

+

1

x

令f′(x)=2-

3

x2

+

1

x

＞0，x＞0可得x＞1
∴函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）g(x)=f(x)-

3

x

=2x+lnx
设过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的切点坐标为（x₀，y₀）
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2）
∴2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2）
∴lnx₀+

2

x0

-2=0
令h（x）=lnx+

2

x

-2，则h′(x)=

1

x

-

2

x2

令h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0可得x=2
当0＜x＜2时，h′（x）＜0；当x＞2时，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∵h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，解题的关键是正确求导，属于中档题．