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    在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数
    1
    x
    f(x)    为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-
    1
    		1+x
    ．
    （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
    （2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）-f（x1）|＜
    1
    2
    |x1-x2|    ；
    （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
    1
    		1+x
    ≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．
    分析：（1）根据弱增函数的定义，只需证明函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，而函数
    1
    x
    f(x)    为减函数，即可；
    （2）证法1：要证|f（x2）-f（x1）|＜
    1
    2
    |x1-x2|    ，不妨设0≤x1＜x2，构造函数g（x）=f（x）-
    1
    2
    x    ，利用导数证明该函数在（0，+∞）单调递减即可证明结论；
    证法2：把f（x）=1-
    1
    		1+x
    代入|f（x2）-f（x1）|，利用分母有理化，即可证明结论；
    （3）要解）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
    1
    		1+x
    ≤1-bx恒成立，利用分离参数转化为当x∈（0，1]时，等价于
    a≥
    1
    x
    f(x)
    b≤
    1
    x
    f(x)
    恒成立，即可求得实数a，b的取值范围．
    解答：解：（1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，
    因为
    1
    x
    f(x)    =
    1
    x
    (1-
    1
    		1+x
    )    =
    1
    x
    		1+x
    -1
    		1+x
    =
    1
    x
    		1+x
    -1
    		1+x
    =
    1
    x
    •
    x
    		1+x
    (
    		1+x
    +1)
    =
    1
    1+x+
    		1+x
    ，
    所以
    1
    x
    f(x)    在区间（0，1]上为减函数．
    所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”．

    （2）证法1：要证|f（x2）-f（x1）|＜
    1
    2
    |x1-x2|    ，不妨设0≤x1＜x2，
    由f（x）=1-
    1
    		1+x
    在[0，+∞）单调递增，
    得f（x2）＞f（x1），
    那么只要证f（x2）-f（x1）＜
    1
    2
    (x2-x1)    ，
    即证f（x2）-
    1
    2
    x2    ＜f（x1）-
    1
    2
    x1    ．
    令g（x）=f（x）-
    1
    2
    x    ，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）-
    1
    2
    x    在[0，+∞）单调递减即可．
    事实上，g（x）=f（x）-
    1
    2
    x    =1-
    1
    		1+x
    -
    1
    2
    x    ，
    当x∈[0，+∞）时，g′（x）=
    1
    2
    		1+x
    -
    1
    2
    ≤0，
    所以g（x）=f（x）-
    1
    2
    x    在[0，+∞）单调递减，
    故命题成立．
    证法2：|f（x2）-f（x1）|=|
    1
    		1+x2
    -
    1
    		1+x1
    |    =
    |
    		1+x1
    -
    		1+x2
    |
    		1+x2
    		1+x1

    =
    |x1-x2|
    		1+x2
    		1+x1
    (
    		1+x1
    +
    		1+x2
    )
    ，
    因为x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，
    		1+x2
    		1+x1
    (
    		1+x1
    +
    		1+x2
    )    ＞2，
    所以|f（x2）-f（x1）|＜
    1
    2
    |x1-x2|    ．

    （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
    1
    		1+x
    ≤1-bx恒成立．
    当x=0时，不等式显然成立．
    当x∈（0，1]时，等价于
    a≥
    1
    x
    f(x)
    b≤
    1
    x
    f(x)
    恒成立．
    由（1）知
    1
    x
    f(x)    为减函数，1-
    		2
    2
    ≤
    1
    x
    f(x)    ＜
    1
    2
    ，
    所以a≥
    1
    2
    且b≤1-
    		2
    2
    ．
    点评：此题是个难题．考查基本初等函数的单调性，以及构造函数证明不等式和恒成立问题，综合性强，方法灵活，很好的考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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    x
    f(x)    为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-
    1
    		1+x
    ．
    （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
    （2）设x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，证明|f(x2)-f(x1)|＜
    1
    2
    |x2-x1|    ；
    （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
    1
    		1+x
    ≤1-bx    恒成立，求实数a，b的取值范围．

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    （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
    （2）设x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，证明；
    （3）当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a，b的取值范围．

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    在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数
    1
    x
    f(x)    为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-
    1
    		1+x
    ．
    （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
    （2）设x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，证明|f(x2)-f(x1)|＜
    1
    2
    |x2-x1|    ；
    （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
    1
    		1+x
    ≤1-bx    恒成立，求实数a，b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2011年江苏省南京市金陵中学高考数学预测试卷（1）（解析版） 题型：解答题

    在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-．
    （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
    （2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）-f（x1）|＜；
    （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

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