Question

【题目】设函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）不存在，使得.

【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系分析讨论函数的符号，进而运用分类整合思想对实数进行分三类进行讨论并判定其单调性，求出单调区间；（2）先假设满足题设条件的参数存在，再借助题设条件，推得，即，亦即

进而转化为判定函数在上是单调递增的问题，然后借助导数与函数单调性的关系运用反证法进行分析推证，从而作出判断：

解：（Ⅰ） 定义域为，

，

令，

①当时， ， ，故在上单调递增，

②当时， ， 的两根都小于零，在上， ，

故在上单调递增，

③当时， ， 的两根为，

当时， ；当时， ；当时， ；

故分别在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

因为.

所以,

又由（1）知， ，于是，

若存在，使得，则，即，

亦即（）

再由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，

而，所以，这与（）式矛盾，

故不存在，使得.