Question

某商场预计从2013年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似的满足，且）。该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是

（1）写出这种商品2013年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2013年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

Answer 1

（1），且）；（2）3125；

解析试题分析：（1）当时，需求量为，当时，2013年第个月的总需求量等于第个月的需求总量减去第个月需求总量；（2）根据利润=该商品每件的利润月销售量，来列出利润的函数关系式，然后通过求导数讨论函数单调性来求函数的最值即可；
试题解析：解：（1）当时，，   2分
当，且时，

。      4分
经验证符合。
故2013年第x月的需求量，且）。      5分
（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为
         7分
即         8分
当时，，
令，解得或（舍去）。
所以，当时，；当时，。
当时，的最大值为元。      10分
当时，是减函数，
所以，当时，的最大值为元。   12分
综上，该商场2013年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3125元。13分
考点：利用导数求最值问题；