Question

【题目】△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点
（Ⅰ）求证：IH∥BC；
（Ⅱ）求直线AE与平面角GIC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）证明：DE∥BC，DE平面BCH，BC平面BCH，∴DE∥平面BCH，
∵平面ADE∩平面BCH=IH，
∴DE∥IH，
∴IH∥BC．
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
D（0，0，0），A（0，0，2），E（0，﹣2，0），C（2，0，0），
H（0，0，1），B（2，﹣4，0），
=（﹣2，0，1）， =（0，﹣4，0）， =（0，﹣2，﹣2）．
设平面BCH的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 =（1，0，2）．
设直线AE与平面角GIC所成角为θ，则sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（Ⅰ）DE∥BC，可得DE∥平面BCH，可得DE∥IH，即可证明IH∥BC．（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面BCH的法向量为 =（x，y，z），则 ，设直线AE与平面角GIC所成角为θ，则sinθ=|cos |= ．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的性质和空间角的异面直线所成的角，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．