Question

（1）已知：f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）当a≥1时，上述（1）、（2）小题中的函数f（x）、g（x），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将f（x）进行化简成对勾函数的形式y=f(x)=2x+1+

4

2x+1

-8，换元令t=2x+1，1≤t≤3然后利用定义进行判断函数的单调性，
（2）直接利用单调函数的定义进行判定
（3）存在性问题，转化成f（x）的值域⊆g（x）的值域求解即可

解答：解：（1）y=f(x)=2x+1+

4

2x+1

-8，设t=2x+1，1≤t≤3
则y=t+

4

t

-8，t∈[1，3].
任取t₁、t₂∈[1，3]，且t₁＜t₂，f(t1)-f(t2)=

(t1-t2)(t1t2-4)

t1t2

，
当1≤t≤2，即0≤x≤

1

2

时，f（x）单调递减；
当2＜t≤3，即

1

2

＜x≤1时，f（x）单调递增．
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，得f（x）的值域为[-4，-3]．
（2）设x₁、x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
所以g（x）单调递减．
（3）由g（x）的值域为：1-3a²-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以满足题设仅需：1-3a²-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，1≤a≤

3

2

．

点评：本题主要考查了利用函数的单调性求函数值域，以及存在性问题的求解，是一个函数综合题．