Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1)求证：A、C、T三点共线；
(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

Answer 1

（1）见解析（2）椭圆方程为＋y²＝1.P点坐标为

(1)证明：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T.
AT：＝1②，BF：＝1③，解得交点C，代入①得
＝＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T
三点共线．
(2)解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.
∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＝1，∴a²＝2c²，b²＝c².设P(x₀，y₀)，则x₀＋2＝2c².此时C，AC＝c，S_△ABC＝·2c·＝c²，
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝，
S_△APC＝d·AC＝··c＝·c.只须求x₀＋2y₀的最大值，
(解法1)∵(x₀＋2y₀)²＝＋4＋2·2x₀y₀≤＋4＋2(＋)＝3(＋2)＝6c²，∴x₀＋2y₀≤c.当且仅当x₀＝y₀＝c时，(x₀＋2y₀)_max＝c.
(解法2)令x₀＋2y₀＝t，代入＋2＝2c²得(t－2y₀)²＋2－2c²＝0，即6－4ty₀＋t²－2c²＝0.Δ＝(－4t)²－24(t²－2c²)≥0，得t≤c.当t＝c，代入原方程解得x₀＝y₀＝c.
∴四边形的面积最大值为c²＋c²＝c²＝，∴c²＝1，a²＝2，b²＝1，此时椭圆方程为＋y²＝1.P点坐标为.