Question

【题目】已知曲线的方程为：，其中：，且为常数.

（1）判断曲线的形状，并说明理由；

（2）设曲线分别与轴，轴交于点(不同于坐标原点），试判断的面积是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线与曲线交于不同的两点,且为坐标原点），求曲线的方程.

Answer 1

【答案】（1）曲线是以点为圆心， 以为半径的圆；（2）定值，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将曲线的方程化为，即可得到曲线的形状；（2）在曲线的方程中令,得，进而得到点，计算的三角形的面积，即可判定面积为定值；（3）由圆过坐标原点，且，求得，当时，直线与圆相离，舍去，当时，即可求解圆的方程.

试题解析：（1）将曲线的方程化为,即.

可知曲线是以点为圆心， 以为半径的圆.

（2）的面积为定值.证明如下：在曲线的方程中令,得，

得点在曲线方程中令，得，得点，（ 定值）.

（3）圆过坐标原点，且，

当时， 圆心坐标为圆的半径为，

圆心到直线的距离,

直线与圆相离，不合题意舍去，时符合题意.

这时曲线的方程为.