Question

已知数列满足，，()
（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.

Answer 1

（1）∪；（2）充要条件为.

试题分析：本题主要考查数列的递推公式、数列的单调性、充要条件、数学归纳法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、逻辑推理能力.第一问，数列单调递增，将已知条件代入，得到所满足条件，即需要满足的条件，即得到a的取值范围，第二问，必要性：法一：由直接解出，法二：利用已知的递推公式得到与的关系，再利用配方法得到的最小值，充分性：用数学归纳法证明.
试题解析：（1）若，则，
由，
得或，所以只需或.
所以实数的取值范围为∪.    6分
(2)对任意成立的充要条件为.必要性：由，解出；
（另解：假设，得，令，，可得：，即有.）    8分
充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.
证明：（1）显然时，结论成立；
（2）假设时结论成立，即，
当时，.
考察函数，，
①若，由，知在区间上单调递增.由假设.
②若，对总有，
则由假设得.
所以，时，结论成立，
综上可知：当时，对一切，成立.
故对任意成立的充要条件是.