Question

已知函数f(x)=

a

3

x3+bx2+4cx是奇函数，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为-6，且当x=2时，函数f（x）有极值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是奇函数，得出f（-x）=-f（x），从而求出b值；
（2）由函数f（x）在x=2处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为-6，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=-6，解方程组即可求得，a，c的值，从而求得f（x）的解析式；
（3）把（2）确定的解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间．

解答：解：（1）由函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴b=0
（2）由f(x)=

a

3

x3+4cx，有f'（x）=ax²+4c且f'（1）=-6，f'（2）=0
∴

a+4c=-6 4a+4c=0

解得  

a=2 c=-2

故f(x)=

2

3

x3-8x
（3）∵f(x)=

2

3

x3-8x
∴f'（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f'（x）＜0得-2＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2]，[2，+∞）；单调减区间为[-2，2]

点评：此题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性，是一道中档题．