Question

【题目】已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1 ， l2分别与直线y=x相交于A，B两点．
（1）若离心率为 ，求椭圆的方程；
（2）当 ＜7时，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为： （a＞b＞0），

∴c=m，准线方程为：x= =m+1，

∴a2=m（m+1），b2=m …2分

由e= = = ，可得b=c，从而m=1，

故a= ，b=1，

∴椭圆方程： ；

（2）解：由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），

∴ =（2m+1，m+1）， =（1，m+1），

故 =2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，

解得：0＜m＜1，…12分

由离心率e= = = ，

故所求的离心率范围为（0， ）．

【解析】（1）由题意可知： （a＞b＞0），由准线方程为：x= =m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e= = = ，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得 =（2m+1，m+1）， =（1，m+1），由 =m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e= = = ，即可求得椭圆离心率的取值范围．