Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N*）（整点即横坐标与纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）（理）设Sn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

，求S_n的最小值（n＞1，n∈N*）；
（3）设Tk=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

求证：T2n≥

7n+11

36

(n＞1，n∈N*)．
（文）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且Tn=

Sn

3•2n-1

．若对一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知D_n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，由y₁=2n，y₂=n，知a_n=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）由Sn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

=

1

3

×(

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

)．知Sn+1-Sn=

1

3

×(

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

)=

1

3

×(

1

2n+1

-

1

2n+2

)＞0．所以Sn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

≥

7

36

(n＞1，n∈N*)．
（ii）T2n=

1

3

×(1+

1

2

+S2+S4++S2n-1）≥

1

3

×(1+

1

2

+

7 12 + 7 12 ++ 7 12

n-1项

)=

7n+11

36

(n＞1，n∈N*)．
（文）由题设知T_n=

n(n+1)

2n

．T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2n+1

-

n(n+1)

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，n≥3时{T_n}是递减数列，且T1=1＜T2=T3=

3

2

，所以T₂，T₃是数列{T_n}的最大项，故m≥T2=

3

2

．

解答：解：（1）∵x＞0，y=3n-nx＞0，0＜x＜3，x=1或x=2．
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，
∴y₁=2n，y₂=n．∴a_n=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）Sn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

=

1

3

×(

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

)．
∵Sn+1-Sn=

1

3

×(

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

)=

1

3

×(

1

2n+1

-

1

2n+2

)＞0．
∴S_n+1＞S_n，S_n≥S₂（n＞1，n∈N*）．
∵S2=

1

3

×(

1

3

+

1

4

)=

7

36，

∴Sn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

≥

7

36

(n＞1，n∈N*)．

（ii）T2n=

1

3

×[1+

1

2

++

1

2n

)]=

1

3

×(1+

1

2

+S2+S4++S2n-1）
≥

1

3

×(1+

1

2

+

7 12 + 7 12 ++ 7 12

n-1项

)=

7n+11

36

(n＞1，n∈N*)．
（文）∵S_n=3（1+2+3+…+n）=

3n(n+1)

2

，∴T_n=

n(n+1)

2n

．
∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2n+1

-

n(n+1)

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，∴当n≥3时，T_n+1＜T_n，∴n≥3时{T_n}是递减数列，且T1=1＜T2=T3=

3

2

，∴T₂，T₃是数列{T_n}的最大项，故m≥T2=

3

2

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和不等式的应用．