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若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点P1,P2,已知|P1P2|=8.
(1)过点M(3,0)且斜率为a的直线与曲线C相交于A、B两点,求△FAB的面积S(a)及其值域.
(2)设m>0,过点N(m,0)作直线与曲线C相交于A、B两点,若∠AFB恒为钝角,试求出m的取值范围.
分析:(1)根据|P1P2|=8,可得2p=8,从而可得抛物线C的方程,直线方程代入抛物线方程,利用韦达定理,即可求△FAB的面积S(a),从而可求其值域;
(2)直线方程代入y2=8x得一元二次方程,用坐标表示向量,利用∠AFB为钝角,可得
FA
FB
<0,从而可得不等式,由此可求实数m的取值范围.
解答:解:(1)由条件得2p=8,∴抛物线C的方程为y2=8x,
设过M所作直线方程为y=a(x-3)代入y2=8x得ay2-8y-24a=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=
8
a
,y1y2=-24,
∴S(a)=
1
2
|MF||y1-y2|=2
6+
4
a2
>2
6

∴值域为(2
6
,+∞);
(2)设直线方程为ty=x-m,代入y2=8x得y2-8ty-8m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,y1y2=-8m
∵F(2,0),∴
FA
=(x1-2,y1),
FB
=(x2-2,y2),
∵∠AFB为钝角,∴
FA
FB
<0,∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0,
即x1x2-2(x1+x2)+4-8m<0,
(y1y2)2
64
-2[t(y1+y2)+2m]+4-8m<0,
因此m2-12m+4<0,∴6-4
2
<m<6+4
2

∵m≠2,∴m的范围是(6-4
2
,2)∪(2,6+4
2
).
点评:本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.
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