Question

若抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点P₁，P₂，已知|P₁P₂|=8．
（1）过点M（3，0）且斜率为a的直线与曲线C相交于A、B两点，求△FAB的面积S（a）及其值域．
（2）设m＞0，过点N（m，0）作直线与曲线C相交于A、B两点，若∠AFB恒为钝角，试求出m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由条件得2p=8，∴抛物线C的方程为y²=8x，
设过M所作直线方程为y=a（x-3）代入y²=8x得ay²-8y-24a=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=，y₁y₂=-24，
∴S（a）=|MF||y₁-y₂|=2＞2
∴值域为（2，+∞）；
（2）设直线方程为ty=x-m，代入y²=8x得y²-8ty-8m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m
∵F（2，0），∴=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∵∠AFB为钝角，∴•＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，
∴-2[t（y₁+y₂）+2m]+4-8m＜0，
因此m²-12m+4＜0，∴6-4＜m＜6+4
∵m≠2，∴m的范围是（6-4，2）∪（2，6+4）．
分析：（1）根据|P₁P₂|=8，可得2p=8，从而可得抛物线C的方程，直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可求△FAB的面积S（a），从而可求其值域；
（2）直线方程代入y²=8x得一元二次方程，用坐标表示向量，利用∠AFB为钝角，可得•＜0，从而可得不等式，由此可求实数m的取值范围．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．