Question

设函数f（x）=-x²+4ax-3a²
（1）当a=1，x∈[-3，3]时，求函数f（x）的取值范围；
（2）若0＜a＜1，x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f（x）≤a成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∵f（x）在[-3，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减
∴当x=2时，函数有最大值1，当x=-3时，函数有最小值-24
∴-24≤f（x）≤1
（2）∵0＜a＜1，二次函数的对称轴x=2a，则2a＜1+a
①当2a＜1-a即0＜a＜时，
f（x）_min=f（1+a）=2a-1，f（x）_max=f（1-a）=-8a²+6a-1
此时，，此时a不存在
②当2a＞1-a，即1＞a时，二次函数的对称轴x=2a∈[1-a，1+a]
根据二次函数的性质可知，当x=2a时，函数有最大值f（2a）=a²，
f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}
若f（x）_min=f（1-a）=-8a²+6a-1
此时有，解可得
若f（x）_min=f（1+a）=2a-1
此时有，解可得
综上可得，
分析：（1）当a=1时，根据二次函数的性质可知f（x）在[-3，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，结合单调性可求函数的最大值与最小值，即可求解
（2）由题意可得，二次函数的对称轴x=2a，[1-a，1+a]，根据二次函数的性质可知，当x=2a时，函数有最大值f（2a）=a²，f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}，结合1-a，与1+a距离对称轴的远近可求函数的最小值，而由-a≤f（x）≤a成立可得，f（x）_max≤a，f（x）_min≥-a，可求
点评：本题主要了一元二次不等式恒成立的问题，解题的关键是利用了二次函数图象的特点数形结合解决问题的．