Question

【题目】武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.

方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设. 试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析；（2），总次数为690次；，总次数为604次；，次数总为594次；减少406次

【解析】

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，可得，再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，随机变量即可得出分布列.

（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令求出期望即可求解.

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，

依题意可知，

所以的分布列为：

（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:

所以当时, ，

此时1000人需要化验的总次数为690次，

，此时1000人需要化验的总次数为604次，

时, ，此时1000人需要化验的次数总为594次，

即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少.

而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①,

当时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.