Question

为了加强对H7N9的防控，某养鸭场要围成相同面积的长方形鸭笼四间（无盖），如图所示，一面可利用原有的墙，其他各面用铁丝网围成．
（Ⅰ）现有可围72m长的铁丝网，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使每间鸭笼面积最大？
（Ⅱ）若使每间鸭笼面积为24m²，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间鸭笼的铁丝网总长最小？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设每间鸭笼长xm，宽为ym，则由条件得4x+6y=72，即2x+3y=36，表示出面积，根据基本不等式，即可求得每间鸭笼的长、宽；
（Ⅱ）设每间鸭笼的长、宽，利用面积为24m²，根据周长的表达式，利用基本不等式，即可求得周长最小值时的长、宽．

解答： 解：（Ⅰ）设每间鸭笼长xm，宽为ym，则由条件得4x+6y=72，即2x+3y=36，
设每间鸭笼面积为S，则S=xy．
由于2x+3y≥2

2x•3y

=2

6xy

，
∴2

6xy

≤36，得xy≤54，
即S≤54，当且仅当2x=3y时，等号成立，
由

2x+3y=36 2x=3y

，解得

x=9 y=6

，
故每间鸭笼长为9 m，宽为6 m时，可使面积最大．
（Ⅱ）由条件知S=xy=24，设铁丝网总长为l，则l=4x+6y．∵2x+3y≥2

2x•3y

=2

6xy

=24，
∴l=4x+6y=2（2x+3y）≥48
当且仅当2x=3y时，等号成立，
由

2x=3y xy=24

，解得

x=6 y=4

，
故每间鸭笼长6 m，宽4 m时，可使铁丝网总长最小．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确确定周长、面积的表达式是关键．