Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，2a=

3

bsinA+acosB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=

3

，由此求得 B 的值．
（Ⅱ）利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2a=

3

bsinA+acosB，由正弦定理可得∴2=

3

sinB+cosB=2sin（B+

π

6

），
sin（B+

π

6

）=1，B是三角形内角，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，∴2²=a²+c²-2accos60°，化为a²+c²-ac=4．
∴4≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号．
∴S_△ABC=

1

2

acsin60°=

3

4

ac≤

3

4

×4=

3

．
△ABC面积的最大值：

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．