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已知数列a1,a2,…an,…和数列b1,b2,…,bn…,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n≥2),(p,q,r是已知常数,且q≠0,p>r>0),用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加以证明.
分析:先根据an=pan-1求出an的表达式,然后代入n=1,2,3进行求出b1、b2、b3的式子,猜想bn=
q(pn-rn)
p-r
.然后用数学归纳法分3步进行证明.
解答:解:∵a1=p,an=pan-1
∴an=pn.又b1=q,
b2=qa1+rb1=q(p+r),
b3=qa2+rb2=q(p2+pq+r2),
设想bn=q(pn-1+pn-2r+…+rn-1)=
q(pn-rn)
p-r

用数学归纳法证明:
当n=2时,b2=q(p+r)=
q(p2-r2)
p-r
,等式成立;
设当n=k时,等式成立,即bk=
q(pk-rk)
p-r

则bk+1=qak+rbk=qpk+
rq(pk-rk)
p-r
=
q(pk+1-rk+1)
p-r

即n=k+1时等式也成立,
所以对于一切自然数n≥2,bn=
q(pn-rn)
p-r
都成立.
点评:本题主要考查数列通项公式的求法和数学归纳法的证明.考查综合运用能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,称Tn为数列{an}的“理想数”,已知数列a1,a2…a501的“理想数”为2008,则数列2,a1,a2…a501的“理想数”为(  )
A、2002B、2004
C、2006D、2008

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科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,称Tn为数列a1,a2,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,…,a500的“理想数”为2004,那么数列12,a1,a2,…,a500的“理想数”为(  )
A、2002B、2004
C、2008D、2012

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设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,称Tn为数列a1,a2,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,…,a401的“理想数”为2010,那么数列6,a1,a2,…,a401的“理想数”为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…a30是公差为d2的等差数列.
(Ⅰ)若a20=40,求 d;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求这个数列三十项的和S30

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