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    给出定义：若m-
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    ＜x≤m+
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    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．现给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题，其中正确命题的序号是（　　）
    ①y=f（x）的定义域为R，值域为[0，
    1
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    ]； ②y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
    ③y=f（x）在[-
    1
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    ，
    1
    2
    ]上是增函数；      ④y=f（x）的图象关于直线x=
    k
    2
    （k∈Z）对称．
    A、①②B、②④
    C、①②③D、①②④
    分析：本题为新定义问题，由已知中若m-
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    ＜x≤m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究．
    解答：精英家教网解：由题意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
    m=0时，-
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    ＜x≤
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    ，f（x）=|x|，
    m=1时，1-
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    ＜x≤1+
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    ，f（x）=|x-1|，
    m=2时，2-
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    ＜x≤2+
    1
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    ，f（x）=|x-2|，
    由图象可知：
    ①y=f（x）的定义域为R，值域为[0，
    1
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    ]，正确；
    ②y=f（x）是周期函数，最小正周期为1，正确；
    ③y=f（x）在[-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]上是增函数，错误；     
    ④y=f（x）的图象关于直线x=
    k
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    （k∈Z）对称，正确；
    故选D
    点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数对称性质的判断与证明，也是一个新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．
    练习册系列答案
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    给出定义：若m-
    1
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    ＜x≤m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
    ①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
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    ，
    1
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    ]；
    ②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
    ③函数y=f（x）的最小正周期为1；
    ④函数y=f（x）在（-
    1
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    ，
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    2
    ]上是增函数；
    则其中真命题是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出定义：若m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
    ①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
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    ，
    1
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    ]；
    ②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
    ③函数y=f（x）在（-
    1
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    ，
    3
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    ]上是增函数；
    ④函数y=f（x）的最小正周期为1；
    则其中真命题是
    ①④
    ①④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•门头沟区一模）给出定义：若m-
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    ≤x＜m+
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    （其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
    ①函数f（x）的定义域为R，值域为[0，
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    ]    ； ②函数f（x）是R上的增函数；
    ③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；  ④函数f（x）是偶函数，
    其中正确的命题的个数是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•昌平区二模）给出定义：若m-
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    ＜x≤m+
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    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
    ①函数y=f（x）的定义域为R，最大值是
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    2
    ；②函数y=f（x）在[0，1]上是增函数；
    ③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）的图象的对称中心是（0，0）．
    其中正确命题的序号是
    ①③
    ①③
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出定义：若m-
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    ＜x≤m+
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    （m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m；在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数f（x）在区间(-
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    ，
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    ]    上单调递增；④函数f（x）的图象关于直线x=k+
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    （k∈Z）对称．则以上判断中正确结论的个数是（　　）

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