Question

已知△AOB的顶点A在射线上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（2，0），求证：∠MQP=2∠MPQ．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M（x，y），由题意，得，
所以，
因为|AM|•|MB|=3，
所以，即，
所以点M的轨迹W的方程为．
（Ⅱ）证明：设M（x₀，y₀）（x₀＞0），
因为曲线关于x轴对称，
所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下给出“当y₀≥0时，∠MQP=2∠MPQ”的证明过程．
因为点M在上，所以x₀≥1．
当x₀=2时，由点M在W上，得点M（2，3），
此时MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以，则∠MQP=2∠MPQ；
当x₀≠2时，直线PM、QM的斜率分别为，
因为x₀≥1，x₀≠2，y₀≥0，所以，且，
又tan∠MPQ=k_PM，所以，且，
所以=，
因为点M在W上，所以，即y₀²=3x₀²-3，
所以tan2∠MPQ=，
因为tan∠MQP=-k_QM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因为，且，∠MQP∈（0，π），
所以∠MQP=2∠MPQ．
综上，得当y₀≥0时，∠MQP=2∠MPQ．
所以对于轨迹W的任意一点M，∠MQP=2∠MPQ成立．
分析：（Ⅰ）由A，B两点关于x轴对称，得到AB边所在直线与y轴平行．设M（x，y），由题意得出x，y之间的关系即为点M的轨迹W的方程．
（Ⅱ）先设M（x₀，y₀）（x₀＞0），因为曲线关于x轴对称，所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归思想．属于中档题．