Question

（本小题满分14分）下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且，
（1）求证：BE//平面PDA；
（2）若N为线段的中点，求证：平面；
（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小.

Answer 1

（1）证明略；
（2）证明略；
（3）45°

（1）证明：∵，平面，平面
∴EC//平面,同理可得BC//平面----------------------------------------2分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且 
∴平面//平面-----------------------------------------------------------------3分
又∵BE平面EBC  ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------------4分
（2）证法1：连结AC与BD交于点F, 连结NF，
∵F为BD的中点，
∴且,--------------------------6分
又且
∴且
∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分
∴
∵,平面,
面    ∴，
又
∴面    ∴面----------------------------------------9分

证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，
则,--------------------------------6分
∴,,
∵,，
∴---------------------------------8分
∵、面，且
∴面--------------------------------------------------------------------9分
（3）解法1：连结DN，由（2）知面
∴, ∵， ∴ ∴
∴为平面PBE的法向量，设，则 ∴=---11分
∵为平面ABCD的法向量，，---------------------------------------------12分
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，
则------------------------------------------------13分
∴ 即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°--------------------14分
解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，
则GB为平面PBE与ABCD的交线--------------------10分
∵  ∴
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，
∴-------------------11分
∵平面,面 
∴且
∴面 ∵面 
∴
∴为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角----------------------------13分
在中      ∵
∴＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°----------------14分