Question

已知函数．
（I）判断的奇偶性；
（Ⅱ）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
（Ⅲ）若，证明：方程有两个不同的正数解．

Answer 1

（I）既不是奇函数也不是偶函数
（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

（1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；
（2）当时，，然后转化为二次函数轴动区间定的最值问题来研究即可.
（3）利用图像法，把方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数来研究.
当，若时，，方程可化为即．

y

令，在同一直角坐标系中作出函数，在时的图像从图像确定函数与的图像在第四象限有两个不同交点,从而证明方程有两个不同的正数解.

解：（I）时，是奇函数；……（1分）
时，既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）
（II）当时，，函数图像的对称轴为直线．（3分）
当，即时，函数在上是增函数，所以；
当，即时，函数在上是减函数，在上是增函数，
所以；……（5分）
当，即时，函数在上是减函数，
所以．……（6分）
综上， ．……（7分）
（III）证法一：
若，则时，，方程可化为，
即．……（8分）
令，，在同一直角坐标系中作出函数 在时的图像…（9分）

因为，，所以，即当时
函数图像上的点在函数图像点的上方．……（11分）
所以函数与的图像在第一象限有两个不同交点．
即方程有两个不同的正数解．…………（12分）
证法二：
若，则时，，方程可化为，
即．…………（8分）

y

令，在同一直角坐标系中作出函数，在时的图像．（9分）

因为，，所以，
即当时，函数图像上的点在函数图像点的上方．…………（11分）
所以函数与的图像在第四象限有两个不同交点．
所以方程有两个不同的正数解．…………（12分）