Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点、．

①求证：；

②求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①见解析②面积的最大值是

【解析】试题分析：（1）根据题意得，，又，即可得方程；

（2）①当时，显然，满足题意；当时，设，，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，由，结合韦达定理即可得解；

②由结合韦达定理得，利用均值不等式求最值即可.

试题解析：

（1）由题意可得，

令，可得，即有，

又，所以，．

所以椭圆的标准方程为；

（2）①当时，显然，满足题意；

当时，设，，直线方程为，

代入椭圆方程，整理得，

则，所以．

，

则

．

则，即；

②

当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．

则面积的最大值是．