Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）用定义证明f（x） 在[-1，1]上为增函数；
（2）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小； 
（3）解不等式f（2x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）．

Answer 1

分析：（1）设-1≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，由a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，由f（x）为奇函数可得f（x₁）＜f（x₂），根据增函数的定义可作出判断；
（2）利用f（x）的单调性可作出大小比较；
（3）根据函数的单调性可去掉符号“f”，转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域；

解答：解：（1）设-1≤x₁＜x₂≤1，
则x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，
由a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，得

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）∵-1≤b＜a≤1，且f（x）在[-1，1]上为增函数，
∴f（a）＞f（b）；
（3）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
∴f(2x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)?

-1≤2x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 2x- 1 2 ＜x- 1 4

，解得-

1

4

≤x＜

1

4

，
故原不等式解集为{x|-

1

4

≤x＜

1

4

}．

点评：本题考查函数单调性的判断证明、单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，抽象函数单调性的判断一般利用定义解决．