Question

已知函数f（x）=2sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（1，

3

），且0＜φ＜π．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）由任意角的三角函数定义算出tanφ=

3

，结合0＜φ＜π，可得φ=

π

3

；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），根据正弦函数单调减区间的公式建立关于x的不等式解出f（x）的减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．再取k=0得到区间[

π

12

，

7π

12

]，即为f（x）在[0，π]上的单调减区间．

解答：解：（1）∵角φ的终边经过点P（1，

3

），
∴tanφ=

3

1

=

3

，
又∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

；
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x+φ）=2sin（2x+

π

3

），
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的递减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，（k∈Z）．
取k=0，可得f（x）在[0，π]上的单调减区间为[

π

12

，

7π

12

]．

点评：本题给出角φ的终边经过定点P，求φ的值并依此求函数f（x）的递减区间．着重考查了特殊角的三角函数值、任意角的三角函数定义和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．