Question

如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

Answer 1

解：如图，过高OO₁和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE₁和棱锥的斜高为EO₁，设OO₁=h，∴

∵OO₁E₁E是直角梯形，其中
∴根据勾股定理得，
①式两边平方，把②代入得：
解得，即
显然，由于a＞0，b＞0，所以此题当且仅当时才有解．
分析：这是棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解．
点评：本题考查了在棱台的问题中：如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱有关，则需要应用通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一．