Question

（2013•杭州一模）设函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，（其中a＞0）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）当a=4时，给出直线l₁：5x+2y=m=0和l₂：3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断直线l₁或l₂中，是否存在函数f（x）的图象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入，求导数，由导数的正负可得单调区间，进而可得极值；
（Ⅱ）把a=4代入可得导数≥4

2

-6，故l₁或l₂中，不存函数图象的切线，令导数=3，可得n值．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0．
所以当x=1时，f（x）取极小值-2．                    …（7分）
（Ⅱ）当a=4时，f′（x）=2x-6+

4

x

，∵x＞0，
∴f′（x）=2x+

4

x

-6≥4

2

-6，
故l₁或l₂中，不存函数图象的切线．
由2x+

4

x

-6=3得x=

1

2

，或x=4，
当x=

1

2

时，可得n=-

17

4

-4ln2，
当x=4时，可得n=4ln4-20．                  （15分）

点评：本题考查导数的几何意义与函数的极值，属中档题．