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    我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
    f(x1)+f(x2)
    2
    =C    ，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
    （1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：______．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：______．（4分）
    （2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
    3
    2
    是其“和谐数”；
    （3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．
    （1）∵对任意x1∈[-1，3]，令
    f(x1)+f(x2)
    2
    =2    ，得x2=2-x1，∴x2∈[-1，3]，即对任意的x1∈[-1，3]，存在唯一的x2=2-x1∈[-1，3]，使得
    f(x1)+f(x2)
    2
    =2    ，
    故正确答案为  是；  2
    （2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令
    g(x1)+g(x2)
    2
    =
    3
    2
    ，即
    lgx1+lgx2
    2
    =
    3
    2
    ，
    得x2=
    1000
    x1
    ．∵x1∈[10，100]，∴x2=
    1000
    x1
    ∈[10，100]    ．
    即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的x2=
    1000
    x1
    ∈[10，100]    ，使得
    g(x)+g(x2)
    2
    =
    3
    2
    ．
    ∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为
    3
    2
    ．
    参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；
    ②对任意x1∈（1，3），令
    h(x1)+h(x2)
    2
    =5    ，即
    2x1+2x2
    2
    =5    ，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)．∵x1∈（1，3），∴10-2x1∈(2，8)，x2=log2(10-2x1)∈(1，3)．
    即对任意x1∈（1，3），存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1，3)，使得
    h(x1)+h(x2)
    2
    =5    ．
    ∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”
    （3）函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：
    对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得
    x12+x22
    2
    =
    1+x22
    2
    =C    成立，
    所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；
    ②若C＞0，则对于x1=
    		4C
    ，由
    x12+x22
    2
    =
    4C+x22
    2
    =C    得，x22=-2C＜0，
    即不存在x2∈R，使
    x12+x22
    2
    =C    成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．
    综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
    f(x1)+f(x2)
    2
    =C    ，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
    （1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
    是
    是
    ．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：
    2
    2
    ．
    （2）请先学习下面的证明方法：
    证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
    3
    2
    是其“和谐数”．
    证明过程如下：对任意x1∈[10，100]，令
    g(x1)+g(x2)
    2
    =
    3
    2
    ，即
    lgx1+lgx2
    2
    =
    3
    2
    ，
    得x2=
    1000
    x1
    ．∵x1∈[10，100]，∴x2=
    1000
    x1
    ∈[10，100]    ．即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的x2=
    1000
    x1
    ∈[10，100]    ，使得
    g(x)+g(x2)
    2
    =
    3
    2
    ．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，
    3
    2
    是其“和谐数”．
    参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
    （3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
    f(x1)+f(x2)
    2
    =C    ，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
    （1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
     
    ．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：
     
    ．（4分）
    （2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
    3
    2
    是其“和谐数”；
    （3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•上海一模）在统计学中，我们学习过方差的概念，其计算公式为
    σ
    2
     
    =
    1
    N
    [(x1-μ)2+(x2-μ)2+…+(xn-μ)2]    ，并且知道，其中μ=
    1
    N
    (x1+x2+…+xn)    为x1、x2、…、xn的平均值．
    类似地，现定义“绝对差”的概念如下：设有n个实数x1、x2、…、xn，称函数g（x）=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|为此n个实数的绝对差．
    （1）设有函数g（x）=|x+1|+|x-1|+|x-2|，试问当x为何值时，函数g（x）取到最小值，并求最小值；
    （2）设有函数g（x）=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-x2|，（x∈R，x1＜x2＜…＜xn∈R），
    试问：当x为何值时，函数g（x）取到最小值，并求最小值；
    （3）若对各项绝对值前的系数进行变化，试求函数f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）的最值；
    （4）受（3）的启发，试对（2）作一个推广，给出“加权绝对差”的定义，并讨论该函数的最值（写出结果即可）．

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    科目：高中数学 来源：2008－2009学年高三数学模拟试题分类汇编：函数 题型：044

    在统计学中，我们学习过方差的概念，其计算公式为，

    并且知道，其中为x1、x2、…、xn的平均值．

    类似地，现定义“绝对差”的概念如下：设有n个实数x1、x2、…、xn，称函数g(x)＝|x－x1|＋|x－x2|＋…＋|x－xn|为此n个实数的绝对差．

    (1)设有函数g(x)＝|x＋1|＋|x－1|＋|x－2|，试问当x为何值时，函数g(x)取到最小值，并求最小值；

    (2)设有函数g(x)＝|x－x1|＋|x－x2|＋…＋|x＋x2|，(x∈R，x1＜x2＜…＜xn∈R)，

    试问：当x为何值时，函数g(x)取到最小值，并求最小值；

    (3)若对各项绝对值前的系数进行变化，试求函数f(x)＝3|x＋3|＋2|x－1|－4|x－5|(x∈R)的最值；

    (4)受(3)的启发，试对(2)作一个推广，给出“加权绝对差”的定义，并讨论该函数的最值(写出结果即可)．

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