Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点F在直线上。

（Ⅰ）求抛物线C的方程。

（Ⅱ）过点做互相垂直的两条直线与曲线C交于A，B两点，与曲线C交于E,F两点，线段AB、EF的中点分别为M、N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）直线过定点，其坐标为.

【解析】

（Ⅰ）由抛物线的焦点在直线上，求得焦点的坐标，进而得出，即可求解抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求解点的坐标，分类讨论，即可求解.

（Ⅰ）抛物线的焦点在直线上，

为， 即，

抛物线的方程为．

（Ⅱ）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，

则直线：，，

由得，

，

∴，，

∴．同理得．

当或时，直线的方程为；

当且时，直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

∴直线过定点，其坐标为．