Question

【题目】已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．

（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：；

（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．（3）见解析.

【解析】

（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2），让f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出的形式，然后进而判定。

（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知x满足的不等式组，进而可解得x的范围

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．对p讨论得到。

（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，

而，故，故在上是增函数

（2）由在上是增函数知：

，

故不等式的解集为．

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，

只需成立，即成立．

① 当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．