Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用离心率为

3

3

，求出a，b，c之间的关系，再利用直线l：x-y+2=0与圆相切求出b，即可求椭圆C₁的方程；
（2）把条件转化为动点M到定点F₂（1，0）的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离即可求出点M的轨迹C₂的方程．

解答：解：（1）由e=

3

3

，得

b2

a2

=1-e²=

2

3

；
由直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，得

2

2

=|b|．
所以，b=

2

，a=

3

所以椭圆的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|，
即动点M到定点F₂（1，0）的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是y²=4x

点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种．