Question

数列{a_n}中，前n项和为S_n=2n-a_n（n∈N^*）
（1）分别求出a₂，a₃，a₄；
（2）猜想通项公式a_n；
（3）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）把n=1，2，3，4分别代入递推公式可求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）根据（1）中的所求a₁，a₂，a₃，a₄的值的规律进行猜想即可
（3）利用数学归纳法的基本步骤进行证明

解答：解：（1）n=1时，S₁=2-a₁，则a₁=1
n=2，S₂=1+a₂=4-a₂，a2=

3

2

n=3，S3=

5

2

+a3=6-a3，a3=

7

4

n=4，S4=

17

4

+a4=8-a4，a4=

15

8

（2）an=

2n-1

2n-1

证明：①当n=1时，成立
②假设当n=k时成立即ak=

2k-1

2k-1

当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1+a_k-2k
∴2a_k+1=2+a_k=2+

2k-1

2k-1

=

2•2k-1

2k-1

∴ak+1=

2k+1-1

2k

由①②可得对于任意的正整数K都成立

点评：本题主要考查 了由数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由数列的前几项，发现规律，进行归纳推理．