Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）先证明面，再证明，最后得到平面平面.

（2）以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算法向量，利用向量的夹角公式得到答案.

解：（1）证明：因为，则，又侧面底面，

面面，面，则面

面，则又因为，为平行四边形，

则，又，则为等边三角形，则为菱形，则

又，则面，面，则面面

（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分，

则为中点，取中点，连接，由知

由（1）知平面，以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则中点为

设面的法向量为，则，

可取

设面的法向量为，则，

可取

设二面角的大小为，则，

则二面角的正弦值为.