Question

给定正整数，若项数为的数列满足：对任意的，均有（其中），则称数列为“Γ数列”．
（1）判断数列和是否是“Γ数列”，并说明理由；
（2）若为“Γ数列”，求证：对恒成立；
（3）设是公差为的无穷项等差数列，若对任意的正整数，
均构成“Γ数列”，求的公差．

Answer 1

（1）数列不是“数列”； 数列是“数列”；（2）详见解析；（3）数列的公差．

试题分析：（1）判断数列和是否是“Γ数列”，根据“Γ数列”的定义，对任意的，均有，只要每一项都满足，就是“Γ数列”，有一项不满足就不是“Γ数列”，对于数列，，观察数列中的项，都大于，顾不符合定义，对于数列，，观察数列中的每一项，都小于，符合定义，故是“Γ数列”；（2） 若为“Γ数列”，求证：对恒成立，本题直接证明似乎无从下手，因此可用反证法，即假设存在某项，把它作为条件，可得，设，得出，显然这与“数列”定义矛盾，从而得证；（3）求的公差，由（2）可知，分，与，两种情况讨论，当易证符合，当时，显然是递增数列，由“数列”的定义可知，即，整理得，当时，不等式不成立，故不是“数列”，因此得公差.
（1）①因为，数列不是“数列”，       2分
②因为，又是数列中的最大项
所以数列是“数列”.                                                 4分
（2）反证法证明：
假设存在某项，则
.
设，则
，
所以，即，
这与“数列”定义矛盾，所以原结论正确.                                    8分
（3）由（2）问可知.   
①当时，，符合题设；                    9分
②当时， 
由“数列”的定义可知，即
整理得（*）
显然当时，上述不等式（*）就不成立
所以时，对任意正整数，不可能都成立.
综上讨论可知的公差.                             13分